Ech, może będę robił za jelenia, który podaje na tacy informacje, ale co mi tam.
Przede wszyskim użyj opcji szukaj wpisując frazę "z dzieckiem" a na pewno coś wiecej znajdziesz. Nie jesteś pierwsza.

a tu kilka ze znalezionych wątków
http://forum.bieszczady.info.pl/show...es-dzidziusiem
http://forum.bieszczady.info.pl/show...iecka-(10-lat)
http://forum.bieszczady.info.pl/show...-czterolatkiem

btw Bieszczady to nie tylko połoniny.
Patrząc na obecne obłożenie to myślę, że do końca września będzie trudno znaleźć jakiś sensowny nocleg (poza podłogą w schronisku). Nic nie piszesz o tym kiedy chcecie przyjechać. Ani jaki nocleg (pokój, schronisko, namiot?).
Ale szukaj.

Najważniejsze turystycznie miejscowości: Cisna, Wetlina, Smerek, Ustrzyki Górne, Wołosate, Lutowiska.
Najlepiej (wciąz niemiennie namawiam do tego) wziąc mapę do ręki i popatrzeć co i gdzie. Ewentualnie jakaś mapa online do zorientowania się w terenie.
Można szukać trochę dalej od połonin, może coś będzie bardziej dostępne.