Izo, sięgnijmy zatem do "najwyższego autorytetu" - Wielkiej Encyklopedii PWN (t. 3, str. 333):
"bazylianie
(...)
Bazylianie przyczynili się też do rozwoju piśmiennictwa w języku ukraińskim; w następstwie rozbiorów Polski działalność bazylianów była systematycznie ograniczana, a klasztory kasowane przez zaborców. Ostatnie klasztory bazylianów zostały zlikwidowane w Cesarstwie Rosyjskim do 1839 r., a w Królestwie Polskim - do 1872 r. Zakon bazylianów przetrwał w Galicji, gruntownie zreformowany 1882 przez jezuitów z inicjatywy prowincjała bazylianów, ojca Klemensa Sarnickiego, oraz na polecenie papieża Leona XIII - i poddany bezpośrednio jurysdykcji Stolicy Apostolskiej. Pod koniec XIX w. bazylianie zaczęli prowadzić pracę duszpasterską wśród emigracji ukraińskiej w Kanadzie, Stanach Zjednoczonych, Brazylii i Argentynie. (...)

Reasumując:
1. Niegdyś był to zakon prawosławny, ale później unicki.
2. Musiał być co najmniej tolerowany w Galicji, skoro przetrwał aż do odzyskania niepodległości w 1918 r. Podlegał papieżowi. Nie zapominajmy, że Habsburgowie byli gorliwymi (przynajmnie deklaratywnie) katolikami.
3. Nigdy nie stał się zakonem rzymskokatolickim (pomimo współpracy z jezuitami), pozostał w rycie i organizacji Kościoła greckokatolickiego.

Pozdrawiam