Z całym, należnym szacunkiem dla uczestników tejże przechadzki / wyprawy (to się jeszcze okaże), moim skromnym zdaniem, należy raczej używać zwrotu "bazylić" niż "bazylować".
Słowo "bazylić" zawiera bowiem formant taki sam jak wyrazy: łazić, mylić, błądzić, wściubić, itp.
Opinii tej będę bronił jak niepodległości, albowiem wiem, co mówię.